Riemann era hijo de un pastor luterano y su primera ambición fue seguir las huellas de su padre. Estudió hebreo y trató de probar la verdad del libro del Génesis por razonamientos matemáticos. Fracasó, pero se descubrió su talento para las matemáticas y su ambición se desvió.
Su carrera se interrumpió por la revolución de 1848, durante la cual sirvió con el rey de Prusia, Federico Guillermo IV, contra los revolucionarios. Cuando pasó el peligro y con el rey victorioso, Riemann volvió a sus estudios.
En 1851 su tesis doctoral recibió la aprobación, ni más ni menos que, del anciano Gauss.
En su corta vida (murió de tuberculosis antes de cumplir cuarenta años) contribuyó con eficacia en muchas ramas de las matemáticas. Su contribución más famosa fue una geometría no euclidiana, diferente de la de Lobachevski y Bolyai, que mejoró en 1854.
La geometría de Riemann utiliza, en vez del axioma de Euclides sobre paralelas, la declaración que por un punto dado no situado en una línea no se podía trazar a dicha línea ninguna línea paralela. Por consiguiente, también tuvo que abandonar el axioma de Euclides que por dos puntos distintos solo se podía trazar una línea recta y solamente una.
En la geometría de Riemann se podían trazar cualquier número de líneas rectas que pasaran por dos puntos. Además, en su geometría no había líneas rectas de infinita longitud. Una consecuencia del axioma de Riemann fue que la suma de los tres ángulos de un triángulo, en su geometría, era de más de 180º.
Realmente, aunque esta geometría parezca, a todo el mundo acostumbrado a la geometría de Euclides, extraña, es perfectamente razonable. La geometría de Riemann se observa más claramente si se considera la superficie de una esfera y restringimos nuestras figuras a esa esfera. Si se define una línea recta como la distancia más corta que hay entre dos puntos, eso podría ser el segmento de una gran circunferencia en la superficie esférica. En la superficie de la Tierra cualquier gran circunferencia nunca es infinita de longitud. Por dos puntos, cualesquiera se pueden tranzar multitud de líneas, no existen líneas paralelas, puesto que todas las grandes circunferencias tienen dos puntos de intersección entre ellas, y un triángulo construido con grandes circunferencias tiene los ángulos que suman más de 180º.
Riemann generalizó la geometría hasta el punto que, cuando variaban las medidas en el espacio, podía transformar unas medidas en otras, según reglas fijas. En aquel tiempo parecía un ejercicio maravilloso de pura matemática teórica, pero completamente separado de la realidad.
Medio siglo más tarde, Einstein pudo demostrar que la geometría de Riemann presentaba un dibujo más exacto del universo que la de Euclides.
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